ฟังก์ชันเป็นคาบและการเขียนโค้ดด้วย MATLAB#

บทความนี้กล่าวถึง การเขียนโค้ด MATLAB สำหรับการสร้างและแสดงรูปกราฟของฟังก์ชันที่มีตัวแปรต้นเป็นเวลา (t) และเป็นฟังก์ชันคาบ

---

▷ ฟังก์ชันเป็นคาบ (Periodic Functions)#

ฟังก์ชันในทางคณิตศาสตร์ เช่น ฟังก์ชันตรีโกณมิติ ไซน์และโคไซน์เป็นฟังก์ชันที่ให้ค่าซ้ำ ในช่วงค่าที่จำกัดสำหรับตัวแปรต้น หรือเรียกว่า "คาบ" (Period) ฟังก์ชันไซน์ $sin(t)$ หรือ $cos(t)$ มีคาบเท่ากับ $2\pi$

โดยนิยามแล้ว ถ้าฟังก์ชัน $f(t)$ เป็นฟังก์ชันรายคาบสำหรับตัวแปร $t$ และมีคาบเท่ากับ $T$ มีคุณสมบัติดังนี้

$$f(t + T) = f(t), \quad \forall t \in \mathcal{R},\; T > 0$$

ฟังก์ชัน $f(t)$ สามารถให้ค่าเป็นเลขจำนวนจริง รวมถึงเลขจำนวนเชิงซ้อนก็ได้

 

---

คำถาม: ถ้าให้ $f(t) = sin(2t)$ ฟังก์ชันนี้มีคาบ ($T$) และความถี่ ($f$) เท่าไหร่ ?

วิธีการหาคาบและความถี่ของฟังก์ชันไซน์มีดังนี้

กำหนดให้ $$f(t) = sin(\omega t), \; \omega = \frac{2\pi}{T} = 2\pi f.$$ โดยที่ $\omega$ คือ ความถี่เชิงมุม (Angular Frequency) มีหน่วยเป็นเรเดียนต่อวินาที (rad/s) มีคาบ $T$ และความถี่ $f$ ซึ่งเป็นส่วนกลับของคาบและมีหน่วยเป็นเฮิร์ตซ์ (Hz)

ในตัวอย่างนี้ ถ้าให้ $sin(2t) = sin(\omega t)$ ดังนั้น $\omega = \frac{2\pi}{T} = 2$ หรือ $T = \pi$ และ $f = 1/T = 1/\pi$

หรืออาจใช้วิธีพิจารณาดังนี้ ถ้า $T$ เป็นคาบของฟังก์ชัน ดังนั้นโดยนิยาม จะเขียนสมการได้ดังนี้

$$\begin{align} f(t) &= f(t+T) \\ sin(2t) &= sin(2(t+T)) \\ &= sin(2t + 2T) \\ &= sin(2t)\, \underbrace{cos(2T)}_{=1} + cos(2t)\, \underbrace{sin(2T)}_{=0} \\ &= \underbrace{ sin(2t) }_{f(t)} \\ \end{align}$$ และได้สมการเป็นจริง เพราะว่า $T=\pi$ และทำให้ $cos(2T)=cos(2\pi)$ ได้ค่าเท่ากับ 1 และ $sin(2T)=sin(2\pi)$ ได้ค่าเท่ากับ 0

วิธีการคำนวณข้างบน มีการใช้สูตรสำหรับฟังก์ชันไซน์ดังนี้

$$\begin{align} sin(A \pm B) &= sin(A) cos(B) \pm cos(A) sin(B) \\ \end{align}$$

 

---

คำถาม: ถ้าให้ $f(t) = cos(\frac{t}{2} + \frac{\pi}{4})$ ฟังก์ชันนี้มีคาบ ($T$) เท่าไหร่ ?

ถ้า $T=4\pi$ จะทำให้ $$\begin{align} f(t) &= f(t+T) \\ &= cos(\frac{t+T}{2} + \frac{\pi}{4}) \\ &= cos(\frac{t}{2} + 2\pi + \frac{\pi}{4}) \\ &= cos(\frac{t}{2} + \frac{\pi}{4}) \,\underbrace{cos(2\pi)}_{1} - sin(\frac{t}{2} + \frac{\pi}{4}) \,\underbrace{sin(2\pi)}_{0} \\ &= \underbrace{cos(\frac{t}{2} + \frac{\pi}{4})}_{f(t)} \\ \end{align}$$

วิธีการคำนวณข้างบน มีการใช้สูตรสำหรับฟังก์ชันโคไซน์ดังนี้

$$\begin{align} cos(A \pm B) &= cos(A) cos(B) \mp sin(A) sin(B) \\ \end{align}$$

 

ลองมาดูตัวอย่างการเขียนโค้ดเพื่อวาดรูปกราฟสำหรับฟังก์ชัน $f(t)$ ด้วย MATLAB และใช้ Symbolic Math Toolbox

% Create a symbol (t is a symbol for a real value).
syms t real
% Define the function f(t).
f(t) = cos(t/2 + pi/4);
% Set the period T.
T = 4*pi;
% Check whether f(t) is a periodic function with period T.
disp( isAlways( f(t) == f(t+T)) ) % The output must be true (1).

% Set time time interval for function plot.
ts = [-6*pi, 6*pi];
% Plot f(t).
fplot( f(t), ts, 'linewidth', 1.2 ), 
grid on, xlabel('t'), ylabel('f(t)');
% Add a small margin of padding on the y-axis.
ylim padded;
% Set the title.
title( '$$f(t)=cos(\frac{t}{2}+\frac{\pi}{4})$$','interpreter','latex' )
% Create an array of ticks on the x-axis.
xticks = ts(1):pi:ts(end);
set( gca, 'XTick', xticks );
% Set the labels on the x-axis.
xlabels = replace( string(sym(xticks)), '*pi', '\pi' );
set( gca, 'XTickLabel', xlabels ); 
% Add vertical and horizontal dotted lines (red color).
xline( [-T 0 T],'--r' ); 
yline( double(f(0)), '--r', {'f(0)'} );

รูป: กราฟของฟังก์ชัน $f(t) = cos(\frac{t}{2}+\frac{\pi}{4})$

 

---

คำถาม: จงหาคาบของฟังก์ชัน $f(t) = 1 + 2sin(2t) + sin(3t)$

$f(t)$ ได้จากผลบวกของค่าคงที่กับฟังก์ชันไซน์ ได้แก่ ฟังก์ชัน $sin(2t)$ มีคาบ $T_1 = \pi$ และ ฟังก์ชัน $sin(3t)$ มีคาบ $T_2 = \frac{2\pi}{3}$

เนื่องจากอัตราส่วน $T_1/T_2 = 3/2$ เป็นเลขตรรกยะ ดังนั้นคาบของฟังก์ชัน $f(t)$ สามารถหาได้จาก $m \cdot T_1 = n \cdot T_2 = T$ โดยที่ $m$ และ $n$ เป็นเลขจำนวนเต็มบวกที่ทำให้สมการดังกล่าวเป็นจริง ซึ่งก็คือ $m=2$ และ $n=3$ มีคาบของฟังก์ชัน $T=2\pi$

ลองแทนค่า $T=2\pi$ ลงในสมการต่อไปนี้

$$\begin{align} f(t) &= f(t+T) \\ &= 1 + 2sin(2(t+2\pi)) + sin(3(t+2\pi)) \\ &= 1 + 2sin(2t + 4\pi) + sin(3t+6\pi) \\ &= \underbrace{1 + 2sin(2t) + sin(3t)}_{f(t)} \\ \end{align}$$ จะได้สมการที่เป็นจริง

 

---

คำถาม: ฟังก์ชันที่ให้ค่าเป็นเลขเชิงซ้อน $f(t) = e^{-j\pi t}, j := \sqrt{-1}$ เป็นฟังก์ชันรายคาบหรือไม่ ?

ถ้า $T$ เป็นคาบของฟังก์ชัน ดังนั้นโดยนิยาม จะเขียนสมการได้ดังนี้

$$\begin{align} f(t) &= f(t+T) \\ &= e^{-j\pi (t+T)} \\ &= \underbrace{e^{-j\pi t}}_{f(t)} \cdot \underbrace{e^{-j\pi T}}_{= 1} \\ \end{align}$$ ถ้าจะให้ได้ $e^{-j\pi T} = 1$ ค่าของ $T$ จะต้องเท่ากับ 2 ซึ่งเป็นคาบของฟังก์ชันดังกล่าว

หากใช้สูตรของอ็อยเลอร์ (Euler's formula) $$e^{j x} := cos(x) + j\, sin(x), \; j := \sqrt{-1}$$ ก็สามารถเขียนฟังก์ชัน $f(t)$ ได้ใหม่ ให้อยู่ในรูปของฟังก์ชันโคไซน์และไซน์ ซึ่งประกอบด้วยสองส่วนคือ ฟังก์ชันที่ให้ค่าเป็นจำนวนจริง (Real-Valued Function) และฟังก์ชันที่ให้ค่าเป็นจำนวนจินตภาพ (Imaginary-Valued Function)

จากสูตรของอ็อยเลอร์ ให้แทนที่ $x$ ด้วย $-\pi t$ จะได้

$$\begin{align} f(t) &= e^{-j\pi t} \\ &= cos(-\pi t) + j\, sin(-\pi t) \\ &= cos(\pi t) - j\, sin(\pi t) \\ \end{align}$$

ฟังก์ชัน $cos(\pi t)$ และ $sin(\pi t)$ มีคาบเหมือนกันคือ $T=2$

ตัวอย่างการเขียนโค้ด MATLAB สำหรับเลขชี้กำลังเชิงซ้อน และเขียนใหม่ให้อยู่ในรูปของฟังก์ชันโคไซน์และไซน์ โดยใช้สูตรอ็อยเลอร์

syms t
f(t) = exp(-1i*pi*t);
rewrite( f(t), 'sincos' )

ข้อสังเกต: สัญลักษณ์ $j = \sqrt{-1}$ คือ 1i สำหรับการเขียนโค้ดด้วย MATLAB

รูป: การเขียนโค้ด MATLAB และตัวอย่างเอาต์พุต

 

---

คำถาม: จงเขียนฟังก์ชัน $f(t) = 1 + 2sin(2t) + cos(3t+\pi/6)$ ให้อยู่ในรูปผลรวมของฟังก์ชันเลขชี้กำลังเชิงซ้อน โดยใช้สูตรของอ็อยเลอร์

$$\begin{align} e^{j x} &= cos(x) + j\, sin(x) \\ e^{-j x} &= cos(x) - j\, sin(x) \\ e^{j x} + e^{-j x} &= 2\, cos(x) \\ e^{j x} - e^{-j x} &= 2j\, sin(x) \\ cos(x) &= \frac{e^{j x} + e^{-j x}}{2} \\ sin(x) &= \frac{e^{j x} - e^{-j x}}{2j} \\ \frac{1}{j} &= \frac{1}{j} \cdot \frac{j}{j} = \frac{j}{(-1)} = -j \\ \end{align}$$

ฟังก์ชันเป็นคาบ $f(t)$ ซึ่งมีคาบ $T_0:=2\pi$ หรือ $\omega_0:=2\pi/T_0 = 1$ สามารถเขียนใหม่ได้เป็น

$$\begin{align} f(t) &= 1 + 2sin(2t) + cos(3t+\frac{\pi}{6}) \\ &= e^{j0} + 2\,\big[ \frac{e^{j2t} - e^{-j2t}}{2j} \big] + \big[ \frac{e^{j(3t+\frac{\pi}{6})} + e^{-j(2t+\frac{\pi}{6})}}{2} \big] \\ &= \frac{e^{-j\frac{\pi}{6}}}{2}\cdot e^{j(-3)t} + j\cdot e^{j(-2)t} + 1\cdot e^{j(0)t} -j\cdot e^{j(+2)t} + \frac{e^{j\frac{\pi}{6}}}{2}\cdot e^{j(+3)t} \\ &= \frac{1}{4}(\sqrt{3} - j)\cdot e^{j(-3)t} + j\cdot e^{j(-2)t} + 1\cdot e^{j(0)t} -j\cdot e^{j(+2)t} + \frac{1}{4}(\sqrt{3} + j)\cdot e^{j(+3)t} \\ \end{align}$$

หรือเขียนใหม่ได้เป็น

$$\begin{align} f(t) &= \mathbf{c_{-3}}\cdot e^{j(-3)t} + \mathbf{c_{-2}}\cdot e^{j(-2)t} + \mathbf{c_{0}}\cdot e^{j(0)t} + \mathbf{c_{2}}\cdot e^{j(+2)t} + \mathbf{c_{3}}\cdot e^{j(+3)t} \\ &= \sum_{k=-3}^{3} \mathbf{c_k} \cdot e^{j(\mathbf{k\omega_0})t}, \; \mathbf{\omega_0} := 1 \end{align}$$ โดยที่มีค่าสัมประสิทธิ์คงตัวดังนี้ $$\begin{align} \mathbf{c_{-3}} &:= \frac{1}{4}(\sqrt{3} - j) \\ \mathbf{c_{-2}} &:= j \\ \mathbf{c_{-1}} &:= 0 \\ \mathbf{c_{0}} &:= 1 \\ \mathbf{c_{1}} &:= 0 \\ \mathbf{c_{2}} &:= -j \\ \mathbf{c_{3}} &:= \frac{1}{4}(\sqrt{3} + j) \\ \end{align}$$

 

ตัวอย่างการเขียนโค้ด MATLAB สำหรับฟังก์ชัน $f(t)$ และเขียนใหม่ให้อยู่ในรูปของฟังก์ชันเลขชี้กำลังเชิงซ้อน โดยใช้สูตรอ็อยเลอร์

syms t
f(t) = 1+2*sin(2*t)+cos(3*t+pi/6); 
f(t) = rewrite( f(t), 'exp' )
expand( f(t) )

ข้อสังเกต: สัญลักษณ์ $j$ จะถูกแทนที่ด้วย 1i สำหรับการเขียนโค้ดด้วย MATLAB

รูป: การเขียนโค้ด MATLAB และตัวอย่างเอาต์พุต

 

---

▷ การสร้างฟังก์ชันเป็นคาบจากฟังก์ชันไม่เป็นคาบ#

ถ้ามีฟังก์ชันไม่เป็นคาบ (Aperiodic Function) โดยใช้สัญลักษณ์เป็น $f_T(t)$ ที่มีค่าอยู่ในเฉพาะช่วงจำกัด (Limited Interval) เช่น $t \in [0,T), T > 0$ และมีค่าเป็น 0 เมื่ออยู่นอกช่วงดังกล่าว ฟังก์ชันในลักษณะนี้สามารถนำมาสร้างฟังก์ชันเป็นคาบได้

$$f(t) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} f_T(t-nT), \; n \in \mathcal{Z} \; (\mbox{integers})$$

ตัวอย่าง: การสร้างฟังก์ชันเป็นคาบรูปสี่เหลี่ยม (Rectangular Waveform)

ลองมาดูตัวอย่างฟังก์ชัน $f_T(t)$ ที่มีลักษณะเป็นพัลส์ (Pulse) และสามารถสร้างได้โดยใช้ฟังก์ชันเป็นช่วง (Piecewise Function) ดังนี้

$$f_T(t) = \begin{cases} 1, & 0 \leq t < \alpha T \\ 0, & \mbox{ otherwise } \\ \end{cases}$$ โดยที่ $\alpha$ เป็นค่าคงที่ และ $0 < \alpha < 1$ ซึ่งเป็นอัตราส่วนระหว่างความกว้างพัลส์กับคาบของฟังก์ชัน

ถ้านำฟังก์ชัน $f_T(t)$ มาสร้างเป็นฟังก์ชัน $f(t)$ ที่มีคาบเท่ากับ $T$ ก็จะได้ฟังก์ชันที่มีลักษณะเหมือนคลื่นสัญญาณสี่เหลี่ยม (Rectangular Wave)

ถัดไปเป็นโค้ด MATLAB ที่สาธิตการสร้างฟังก์ชัน $f(t)$ โดยให้ $T=1$ สำหรับการวาดรูปกราฟ $f(t)$ และ $f_T(t)$

% Clear figures, variables and command outputs.
clf; clc; clearvars;
% Define t as a symbol for any real number.
syms t real 
% Set the period (T) of the function.
T=1; 
% Define alpha as a symbol 
syms alpha 
assume( 0 < alpha & alpha < 1 )
% Define f_T(t) function
f_T(t) = piecewise( 0 <= t & t < alpha*T, 1, 0 ); 
% Set the time interval for calculation.
ts = [-2*T, 3*T];
% Construct a periodic function f(t) from f_T(t).
f = 0;
for t_shift=ts(1):T:ts(end)
  f = f + subs( f_T, t, (t-t_shift) );   
end
% Plot f(t) and f_T(t) with alpha = 1/2.
hold on;
fplot( subs(f,alpha,1/2), ts, 'b', 'linewidth', 1.2 )
fplot( subs(f_T,alpha,1/2), ts, '--r' , 'linewidth', 1.2 )
ylim padded, grid on, xlabel('t'), ylabel('f(t)')
hold off;

รูป: การแสดงรูปกราฟของฟังก์ชัน ($T=1$ และ $\alpha=0.5$) เป็นคาบด้วย MATLAB

---

ตัวอย่าง: การสร้างฟังก์ชันเป็นคาบที่มีรูปคลื่นฟันเลื่อย (Sawtooth Waveform)

กำหนดให้ฟังก์ชัน $f_T(t)$ เป็นฟังก์ชันเป็นช่วงที่มีลักษณะเป็นเส้นตรงเริ่มต้นที่จุด (0,0) สำหรับช่วง $t \in [0,T)$ ตามรูปแบบต่อไปนี้ และนำมาใช้สร้างฟังก์ชันเป็นคาบ $f(t)$ และมีคาบเท่ากับ $T$

$$\begin{align} f_T(t) &= \begin{cases} \frac{A}{T} t, & 0 \leq t < T \\ 0, & \mbox{ otherwise } \\ \end{cases} \\ f(t) &= \sum_{n=-\infty}^{\infty} f_T(t - nT) \end{align}$$ โดยที่ $A$ เป็นค่าคงที่และมีค่าเป็นบวก ดังนั้นฟังก์ชันนี้จะมีค่าอยู่ระหว่าง $0$ ถึง $A$

ฟังก์ชันเป็นคาบ $f(t)$ นี้ สามารถนำไปสร้างฟังก์ชันเป็นคาบอื่นได้ เช่น เกิดจากการเลื่อนเวลา (Time Shifting) การกลับด้านของเวลา (Time Reversal) การบวกหรือลบด้วยค่าคงที่ เป็นต้น

$$\begin{align} g(t) &= f(t-\frac{T}{2}) \\ h(t) &= f(-t) - \frac{A}{2} \\ \end{align}$$ โดยที่ฟังก์ชัน $g(t)$ เกิดจากการเลื่อนเวลาของฟังก์ชัน $f(t)$ ไปทางขวาเป็นระยะเวลาเท่ากับ $\frac{T}{2}$ และฟังก์ชัน $h(t)$ เกิดจากการกลับด้านเชิงเวลาของฟังก์ชัน $f(t)$ แล้วลบด้วยค่าคงที่

ตัวอย่างการเขียนโค้ด MATLAB มีดังนี้

% Clear figures, variables and command outputs.
clf; clc; clearvars;
% Define a symbol for any real numbers.
syms t real
% Set the amplitude and the period of the function.
A=1; T=1; 
% Define f_T(t) function
f_T(t) = piecewise( 0 < t & t < T, A*t/T, 0 ); 
% Set the time interval for calculation.
ts = [-2*T, 2*T];
% Construct a periodic function f(t) from f_T(t).
f = 0;
for t_shift=ts(1)-T:T:ts(end)+T
  f = f + subs(f_T,t,(t-t_shift));   
end 
% Define g(t) and h(t)
g(t) = f(t - T/2);
h(t) = f(-t) - A/2;
% Plot f(t) and g(t) 
fig = figure();
subplot(3,1,1); fplot( f, ts, 'linewidth', 1.2 ),
grid on, xlabel('t'), ylabel('f(t)'), 
pbaspect([1 0.2 1]), ylim padded 
subplot(3,1,2); fplot( g, ts, 'linewidth', 1.2 ),
grid on, xlabel('t'), ylabel('g(t)'), 
pbaspect([1 0.2 1]), ylim padded
subplot(3,1,3); fplot( h, ts, 'linewidth', 1.2 ),
grid on, xlabel('t'), ylabel('h(t)'), 
pbaspect([1 0.2 1]), ylim padded

รูป: การแสดงรูปกราฟของฟังก์ชันเป็นคาบ $f(t)$, $g(t)$ และ $h(t)$ ได้เลือกใช้ค่า $T=1$ และ $A=1$

---

ตัวอย่าง: การสร้างฟังก์ชันเป็นคาบที่มีรูปคลื่นสี่เหลี่ยม (Square Waveform)

ตัวอย่างนี้สาธิตการใช้คำสั่ง mod() ของ MATLAB และเป็นอีกวิธีหนึ่งในการนำไปใช้ในการสร้างฟังก์ชันเป็นคาบ

กำหนดให้ $f(t)$ เป็นฟังก์ชันรูปคลื่นสี่เหลี่ยมที่มีค่าบวกและลบ และให้ฟังก์ชัน $g(t)$ เกิดจากการเลื่อนเวลาฟังก์ชัน $f(t)$ ไปทางซ้าย และเลื่อนขึ้นในแนวตั้ง (บวกด้วยค่า DC Offset)

$$\begin{align} f_T(t) &= \begin{cases} +A, & 0 \leq t < \frac{T}{2} \\ -A, & \frac{T}{2} \leq t < T \\ \end{cases} \\[1em] f(t) &= f_T( \,mod(t,T)\, )\\ g(t) &= A + f(t + \frac{T}{4} ) \\ \end{align}$$ โดยที่ $A$ เป็นค่าคงที่ และฟังก์ชันมีค่าต่ำสุดและสูงสุดอยู่ในช่วง $[-A,+A]$

ตัวอย่างการเขียนโค้ด MATLAB มีดังนี้

% Clear figures, variables and command outputs.
clf; clc; clearvars;
% Define a symbol for any real numbers.
syms t real
% Set the amplitude and the period of the function.
A=5; T=2; 
% Define f_T(t) function
f_T(t) = piecewise( 0 < t & t < T/2, A, -A ); 
% Set the time interval for calculation.
ts = [-2*T, 2*T];
% Create a periodic function f(t) from f_T(t) using mod().
f(t) = f_T( mod(t,T) );
% Define g(t) 
g(t) = A + f(t + T/4);
% Plot f(t) and g(t) 
fig = figure();
subplot(2,1,1); fplot( f, ts, 'linewidth', 1.2 ),
grid on, xlabel('t'), ylabel('f(t)'), ylim padded 
subplot(2,1,2); fplot( g, ts, 'linewidth', 1.2 ),
grid on, xlabel('t'), ylabel('g(t)'), ylim padded

รูป: การแสดงรูปกราฟของฟังก์ชันเป็นคาบ $f(t)$ และ $g(t)$ ได้เลือกใช้ค่า $T=2$ และ $A=5$

การเขียนโค้ด MATLAB เพื่อวาดรูปกราฟของฟังก์ชันโดยไม่สร้างฟังก์ชันเชิงสัญลักษณ์ มีแนวทางดังนี้ เริ่มต้นด้วยการสร้างอาร์เรย์ ts ของค่าตัวเลขสำหรับตัวแปร $t$ ตามจำนวนที่ต้องการ (N) ในช่วงตัวเลขที่กำหนดไว้ โดยใช้คำสั่ง linspace() ของ MATLAB

ถัดไปมีการสร้างฟังก์ชันใน MATLAB แบบที่เรียกว่า Anonymous Function ชื่อ fs และ gs เพื่อใช้ในการคำนวณค่าของฟังก์ชัน $f(t)$ และ $g(t)$ สำหรับค่าตัวเลขจากอาร์เรย์ ts แล้วนำไปใช้กับคำสั่ง stem() เพื่อวาดรูปกราฟแบบ Stem Plot

% Clear figures, variables and command outputs.
clf; clc; clearvars;
% Set the amplitude and the period.
A=5; T=2; 
% Set the number of time steps.
N=50; 
% Create an array of N time steps for t.
ts = linspace(-2*T,2*T,N);
% Create anonymous functions for f(t) and g(t)
fs = @(t) A*(2*(mod(t,T) < T/2)-1);
gs = @(t) A + fs(t+T/4);
% Plot the samples of f(t) and g(t)
fig = figure();
subplot(2,1,1); stem( ts, fs(ts), 'linewidth', 1.2 ),
grid on, xlabel('t'), ylabel('f(t)'), ylim padded 
subplot(2,1,2); stem( ts, gs(ts), 'linewidth', 1.2 ),
grid on, xlabel('t'), ylabel('g(t)'), ylim padded 

รูป: การแสดงรูปกราฟของฟังก์ชันเป็นคาบ $f(t)$ และ $g(t)$ โดยใช้รูปแบบ Stem Plot ได้เลือกใช้ค่า $T=2$ และ $A=5$

ข้อสังเกต: ถ้าหากลองเปลี่ยนจากคำสั่ง stem() เป็น plot() และเพิ่มจำนวนข้อมูลสำหรับอาร์เรย์ ts โดยการเพิ่มค่า N เช่น จาก 50 เป็น 500 จะได้รูปกราฟดูเหมือนกับรูปตัวอย่างที่แล้ว

 

---

▷ กล่าวสรุป#

บทความนี้ได้นำเสนอ ตัวอย่างการเขียนโค้ด MATLAB และใช้ Symbolic Math Toolbox เพื่อสร้างฟังก์ชันและแสดงรูปกราฟของฟังก์ชันเป็นคาบ

 

---

This work is licensed under a Creative Commons Attribution-ShareAlike 4.0 International License.

Created: 2022-10-30 | Last Updated: 2022-11-03