โครงข่ายของตัวต้านทานและการหาค่าความต้านทานรวม#

Keywords: Circuit Simulation, AUTODESK Tinkercad, Resistor Network, Ladder Diagram, Binary Tree Diagram, Recurrence Equations

---

▷ กิจกรรมการเรียนรู้วงจรไฟฟ้าโดยใช้ตัวต้านทาน#

บทความนี้นำเสนอกิจกรรมการเรียนรู้ที่ใช้ตัวต้านทานหลายตัว และทุกตัวมีค่าเท่ากัน นำมาต่อวงจรเข้าด้วยกัน โดยสร้างเป็นโครงข่ายของตัวต้านทาน (Resistor Networks) ตามรูปแบบที่กำหนดไว้ แบ่งออกเป็น 2 รูปแบบ คือ

1. แผนภูมิต้นไม้แบบทวิภาค (Binary Tree)
2. แผนภูมิบันได (Ladder Structure)

เมื่อได้ต่อวงจรโดยใช้ตัวต้านทานแล้วตามรูปแบบที่ 1 หรือ 2 โจทย์ถัดไปก็คือ การหาความต้านทานรวมระหว่าง 2 จุด ซึ่งถูกกำหนดให้เป็นจุดปลายของโครงข่ายตัวต้านทานดังกล่าว และก็สามารถทำได้หลายวิธี เช่น

• การคำนวณในเชิงทฤษฎี
• การวัดด้วยมัลติมิเตอร์
• การใช้ซอฟต์แวร์ช่วยวิเคราะห์วงจรไฟฟ้า

เนื่องจากว่า รูปแบบการต่อตัวต้านทาน มีลักษณะเฉพาะ และค่าความต้านทานของทุกตัวเท่ากัน ดังนั้นการคำนวณค่าความต้านรวมโดยใช้วิธีเชิงวิเคราะห์ (Analytic Method) จึงทำได้ไม่ยากนัก

แต่ถ้าใช้วิธีการวัด ก็แบ่งเป็น วิธีแรกคือ การจำลองการทำงานของวงจรไฟฟ้าโดยใช้ซอฟต์แวร์ เช่น AUTODESK Tinkercad - Circuits (https://www.tinkercad.com/circuits) ซึ่งเป็น Web App ใช้งานได้ฟรี และเปิดใช้งานด้วยเว็บเบราว์เซอร์ และวิธีที่สองคือ การทดลองวัดปริมาณทางไฟฟ้าด้วยมัลติมิเตอร์

 

---

▷ การต่อตัวต้านทานตามรูปแบบ Binary Tree#

ขั้นตอนการต่อตัวต้านทานตามรูปแบบแผนภูมิต้นไม้ทวิภาค มีดังนี้

1. เริ่มต้นด้วยตัวต้านทาน 1 ตัว ซึ่งถือว่า เป็นชั้นแรก
2. ในชั้นที่สอง ให้นำตัวต้านทานครั้งละ 2 ตัว โดยต่อเข้าที่ปลายด้านล่างของตัวต้านทานตัวแรก ดังนั้นตัวต้านทานที่นำมาต่อเพิ่มแต่ละตัว เป็นกิ่ง (Branches) ที่แยกออกมา 2 กิ่ง
3. ในชั้นที่สาม ให้นำตัวต้านทาน 2 ตัว ไปต่อเข้ากับแต่ละกิ่งของชั้นที่สอง และนำมาต่อให้ครบทุกกิ่ง
4. ชั้นถัดไปก็ให้ทำในลักษณะเดียวกัน ตามจำนวนชั้นที่ต้องการต่อตัวต้านทาน
5. เมื่อได้จำนวนชั้นของตัวต้านทานตามต้องการแล้ว ให้นำปลายด้านล่างสุดของตัวต้านทานแต่ละกิ่งเชื่อมต่อถึงกันทั้งหมด รวมกันเป็นปลายด้านล่าง

รูป: ตัวอย่างการต่อตัวต้านทานตามรูปแบบ Binary Tree และมีความสูงเท่ากับ 3 ชั้น

ถ้าให้ $h$ คือ จำนวนชั้น หรือ ความสูงของต้นไม้ทวิภาค จำนวนของตัวต้านทานที่มีอยู่ คือ $(2^h-1)$ เช่น $h=3$ จะมีจำนวนของตัวต้านทานเท่ากับ $2^3 - 1 = 7$ ตัว

คำถาม: จากปลายด้านบนสุดจนถึงปลายด้านล่างมีค่าความต้านทานกี่โอห์ม

 

---

▷ การจำลองการต่อตัวต้านทานเป็นโครงข่ายตามรูปแบบ Binary Tree#

รูปต่อไปนี้เป็นตัวอย่างการต่อตัวต้านทานแบบเสมือนจริง โดยใช้ซอฟต์แวร์ AUTODESK Tinkercad และการใช้มัลติมิเตอร์วัดปริมาณทางไฟฟ้า เลือกใช้ค่าความต้านทานคงที่ $R=1k\Omega$ ทุกตัว

รูปทางซ้ายมือสาธิตการใช้โหมดการวัดเป็น "โอห์มมิเตอร์" (Ohm meter) และรูปทางขวามือสาธิตการใช้โหมดการวัดเป็นแอมมิเตอร์ (Ammeter) โดยมีแหล่งจ่ายไฟ DC คงที่ เช่น 3V จากแบตเตอรี่ (สมมุติว่า แรงดันไฟฟ้าคงที่)

ในกรณีที่วัดปริมาณกระแสไฟฟ้าที่ไหลผ่าน เมื่อมีแหล่งจ่ายเป็นแรงดันไฟฟ้าคงที่ เช่น $3V$ วัดกระแสได้ประมาณ $2mA$ ดังนั้นจึงได้ค่าความต้านทานรวม $1.5k\Omega$ ตามกฎของโอห์ม $V/I = R$

รูป: การวัดปริมาณทางไฟฟ้าด้วยมัลติมิเตอร์

รูป: การวัดค่าความต้านทานด้วยมัลติมิเตอร์ ตามแผนภูมิต้นไม้ทวิภาคของตัวต้านทาน ความสูง 4 ชั้น

รูป: การวัดค่าความต้านทานด้วยมัลติมิเตอร์ ตามแผนภูมิต้นไม้ทวิภาคของตัวต้านทาน ความสูง 5 ชั้น

จากการจำลองการทำงาน จะเห็นได้ว่า วัดความต้านทานรวม ($R_{total}$) ระหว่างปลายด้านบนและด้านล่าง ได้ประมาณ $1.87k\,\Omega$ สำหรับความสูง 4 ชั้น และประมาณ $1.94k\,\Omega$ สำหรับความสูง 5 ชั้น ตามลำดับ

 

---

▷ การวิเคราะห์หาค่าความตัวต้านทานรวมของโครงข่าย Binary Tree#

การคำนวณหาค่าความต้านทานรวมสำหรับโครงสร้างแผนภูมิต้นไม้ทวิภาค สามารถใช้หลักการคำนวณตาม "สมการเวียนเกิด" หรือความสัมพันธ์แบบเวียนเกิด (Recurrence Relationship) ได้ดังนี้

• Recursive Case: $\;\; R_{total}(h) = R + \frac{R_{total}(h-1)}{2}$
• Base Case: $\qquad\;\, R_{total}(1) = R$

$$\begin{align} h=1: & \; R_{total}(1) = R = 1k\,\Omega \\ h=2: & \; R_{total}(2) = R + \frac{R_{total}(1)}{2} = \frac{3}{2}R = 1.5\,k\Omega \\ h=3: & \; R_{total}(3) = R + \frac{R_{total}(2)}{2} = \frac{7}{4}R = 1.75\,k\Omega \\ h=4: & \; R_{total}(4) = R + \frac{R_{total}(3)}{2} = \frac{15}{8}R = 1.875\,k\Omega\\ h=5: & \; R_{total}(5) = R + \frac{R_{total}(4)}{2} = \frac{31}{16}R = 1.9375\,k\Omega\\ & ... \\ & \; R_{total}(h) = \frac{2^h-1}{2^{(h-1)}} R = (2 - \frac{1}{2^{(h-1)}}) R \end{align}$$

คำถาม: ถ้ามีจำนวนชั้นของโครงข่ายตัวต้านทานแบบ Binary Tree เพิ่มขึ้นไปเรื่อย ๆ แนวโน้มของค่า $R_{total}$ จะเป็นอย่างไร?

คำตอบ: จะได้ค่า $\lim_{h\rightarrow \infty} R_{total}(h) = 2R$

 

---

▷ การต่อตัวต้านทานแบบ Ladder#

ขั้นตอนการต่อตัวต้านทานตามรูปแบบ Ladder มีดังนี้

1. เริ่มต้นด้วยตัวต้านทาน 2 ตัว นำมาต่ออนุกรมกัน ให้เป็นชั้นแรกของโครงข่ายตัวต้านทาน
2. ในชั้นถัดไป ให้นำตัวต้านทานครั้งละ 2 ตัว ต่ออนุกรมกันแล้วนำปลายทั้งสองไปต่อขนานกับตัวต้านทานหนึ่งตัวในชั้นแรก

รูป: ตัวอย่างการต่อตัวต้านทานแบบ Ladder จำนวน 2 ชั้น และการวัดค่าความต้านทานด้วยโอห์มมิเตอร์

รูป: ตัวอย่างการวัดปริมาณกระแส และมีแหล่งจ่ายแรงดันคงที่ 3V สำหรับโครงข่ายตัวต้านทาน

รูป: ตัวอย่างการต่อตัวต้านทานแบบ Ladder จำนวน 5 ชั้น และการวัดค่าความต้านทานด้วยโอห์มมิเตอร์

การคำนวณหาความต้านทานรวมสำหรับจำนวนชั้น $n$ หรือ $R_{total}(n)$ ทำตามสูตรคำนวณของ "สมการเวียนเกิด" ได้ดังนี้

• Recursive Case: $\;\; R_{total}(n) = R + \frac{1}{\frac{1}{R} + \frac{1}{R_{total}(n-1)}}, \, n \gt 1$
• Base Case: $\qquad\;\, R_{total}(1) = 2R$

$$\begin{align} n=1: & \; R_{total}(1) = \; 2R = 2 \cdot 1k\,\Omega \\ n=2: & \; R_{total}(2) = \frac{5}{3}R = 1.667k\,\Omega \\ n=3: & \; R_{total}(3) = \frac{13}{8}R = 1.625k\,\Omega \\ n=4: & \; R_{total}(4) = \frac{34}{21}R = 1.619k\,\Omega \\ & ... \\ \end{align}$$

ค่าที่ได้จะลู่เข้า $\lim_{n \rightarrow \infty} R_{total}(n) = \Big(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\Big) \approx 1.618$

 

---

▷ กล่าวสรุป#

บทความนี้นำเสนอกิจกรรมการเรียนรู้ โดยใช้ตัวต้านทานจำนวนหนึ่ง นำมาต่อกันให้เป็นโครงข่ายของตัวต้านทาน ซึ่งสามารถนำไปใช้ทดลองและฝึกต่อวงจรตัวต้านทานบนแผงต่อวงจร (เบรดบอร์ด) ได้ การหาค่าความต้านทานรวมระหว่างสองจุดที่กำหนดไว้ การฝึกใช้มัลติมิเตอร์เพื่อวัดปริมาณทางไฟฟ้า และการใช้โปรแกรมหรือซอฟต์แวร์อย่างเช่น AUTODESK TinkerCAD จำลองการทำงานของวงจรแบบเสมือนจริง

บทความที่เกี่ยวข้อง

• การฝึกต่อวงจรบนเบรดบอร์ดด้วยตัวต้านทานและวัดค่าความต้านทานรวม
• การวัดค่าความต้านทานด้วยไมโครบิตและจำลองการทำงานด้วย AUTODESK Tinkercad

---

This work is licensed under a Creative Commons Attribution-ShareAlike 4.0 International License.

Created: 2024-10-01 | Last Updated: 2024-10-06