วงจรกรองความถี่แบบพาสซีฟสำหรับสัญญาณทางไฟฟ้า#

บทความนี้กล่าวถึง วงจรกรองความถี่แบบฟาสซีฟด้วยวงจร RC และตัวอย่างการจำลองการทำงานด้วยซอฟต์แวร์

Keywords: Filter Circuits, Circuit Analysis, EasyEDA, MATLAB

---

▷ วงจรกรองความถี่#

วงจรกรองความถี่ (Filter Circuit) เป็นวงจรที่ยอมให้สัญญาณที่มีความถี่ในย่านความถี่ที่กำหนดผ่านได้ดี แต่ช่วงความถี่อื่นจะถูกตัดออก หรือ ลดทอนแอมพลิจูดลงไป เมื่อพิจารณาย่านความถี่สำหรับการกรอง ก็จำแนกวงจรกรองความถี่ได้หลายประเภท เช่น

• วงจรกรองความถี่ต่่าผ่าน (Low-Pass Filter: LPF) ความถี่ต่ำจะผ่านได้ดี แต่ความถี่สูงจะถูกลดทอนหรือตัดออกไป
• วงจรกรองความถี่สูงผ่าน (High Pass Filter: HPF) ความถี่สูงจะผ่านได้ดี แต่ความถี่ต่ำจะถูกลดทอนหรือตัดออกไป
• วงจรกรองสัญญาณช่วงความถี่ (Band-Pass Filter: BPF) เฉพาะย่านความถี่ที่กำหนดไว้ผ่านได้ดี แต่นอกย่านความถี่จะถูกลดทอนหรือตัดออกไป
• วงจรกรองตัดหรือลดทอนความถี่เฉพาะย่าน (Band-Stop Filter: BSF หรือ Band-Reject Filter) ช่วงความที่กำหนดจะถูกตัดออก แต่ความถี่อื่น ๆ ผ่านไปได้ดี

นอกจากนั้นแล้ว วงจรกรองความถี่ก็จำแนกได้เป็น 2 ประเภท

• วงจรกรองแบบพาสซีฟ (Passive Filter) เป็นวงจรที่ประกอบด้วย R (ตัวต้านทาน) L (ตัวเหนี่ยวนำ) และ C (ตัวเก็บประจุ) นำมาต่อเป็นวงจรในรูปแบบต่าง ๆ
• วงจรกรองแบบแอกทีฟ (Active Filter) เป็นวงจรที่ถูกสร้างขึ้นโดยใช้ทรานซิสเตอร์ หรือ ไอซีประเภทออปแอมป์ (OpAmp) เป็นองค์ประกอบที่สำคัญของวงจร และมีการใช้แหล่งพลังงานไฟเลี้ยง

หากนำสัญญาณรูปคลื่นไซน์ไปใช้เป็นอินพุตของวงจรกรอง แล้ววัดสัญญาณเอาต์พุตของวงจร ขนาดของสัญญาณ (Magnitude) และเฟส (Phase) อาจแตกต่างจากสัญญาณอินพุต เมื่อเปรียบเทียบกันระหว่างสัญญาณเอาต์พุตกับอินพุต เช่น แอมพลิจูดลดลงและความต่างเฟส

ตัวอย่างการวิเคราะห์วงจรไฟฟ้าที่เกี่ยวข้องกับสัญญาณรูปคลื่นไซน์ ได้แก่ การวิเคราะห์ผลตอบสนองเชิงความถี่ของวงจร (Frequency Response Analysis) หรือถ้าใช้ซอฟต์แวร์จำลองการทำงานของวงจร จะเรียกว่า AC Sweep Simulation เพื่อดูว่า แต่ละค่าความถี่จากต่ำไปสูง ส่งผลต่อสัญญาณเอาต์พุตของวงจรอย่างไร

 

---

▷ การวิเคราะห์วงจร RC ในโหมด Transient#

รูป: การวาดวงจร RC โดยใช้ซอฟต์แวร์ EasyEDA

จากผังวงจร สามารถเขียนสมการที่เกี่ยวข้องได้ดังนี้

$$\begin{align} i_C(t) &= C \frac{d}{dt} v_C(t) \\ v_R(t) &= R\, i_R(t) \\ i(t) &= i_R(t) = i_C(t) \\ \end{align} \\ v_R(t) + v_C(t) - v_S(t) = 0 \\ R\, i_R(t) + v_C(t) = v_S(t) \\ RC\,\frac{d}{dt} v_C(t) + v_C(t) = v_S(t) \\ $$

ดังนั้นจะได้สมการเชิงอนุพันธ์ (อันดับหนึ่ง) พร้อมเงื่อนไขเริ่มต้น และผลเฉลยดังนี้สำหรับฟังก์ชัน $v_S(t)$ แบบขั้นบันได (Step Function)

$$\begin{align} \text{First-order ODE: } & \quad v'_C(t) + \frac{1}{RC} v_C(t) = \frac{1}{RC}v_S(t) \\ \text{Initial Condition: } &\quad v_C(0) = V_0 \\ \end{align}$$ $$v_S(t) = \begin{cases} V_S & t \geq 0 \\ 0 & t < 0 \\ \end{cases} \\ \begin{align} v_C(t) &= V_S - (V_S - V_0)e^{-t/RC} \\ i(t) &= \frac{(V_S - V_0)}{R}\,e^{-t/RC} \\ v_R(t) &= R\, i(t) =(V_S - V_0)\,e^{-t/RC} \\ \end{align}$$

 

ตัวอย่างโค้ด MATLAB (ใช้ Symbolic Math Toolbox) สำหรับการหาผลเฉลยของสมการเชิงอนุพันธ์สำหรับวงจร RC

% clear all symbols, variables, figures and command outputs
clearvars; clc; clf;
% define symbols
syms t R C V_S V_0 v_C(t) i(t)
% write the ODE
eqn = diff(v_C(t),t) + v_C(t)/(R*C) == V_S/(R*C);
% set the initial condition (IC)
ic = v_C(0) == V_0;
% solve the ODE to find v_C(t)
sol = dsolve( eqn, ic )
% determine the current i(t)
i(t) = simplify( C*diff(sol,t) )

 

หากป้อนสัญญาณ $v_S(t)$ เป็นแบบขั้นบันได เช่น เปลี่ยนจาก 0V เป็น 5V ที่เวลา $t=0$ และ 0V เมื่อเวลา $t=5ms$ ตามลำดับ จะได้รูปคลื่นสัญญาณสำหรับแรงดันไฟฟ้าตกคร่อมดังนี้ (ตั้งค่า $R=1000\Omega, C=1uF$)

รูป: ผลการจำลองการทำงานสำหรับวงจร RC เมื่ออินพุตเป็นสัญญาณแบบขั้นบันได

ในการพิจารณารูปกราฟ ให้แบ่งเป็นสองช่วง

• ช่วงแรก $v_C(t)$ จะเพิ่มจาก $V_0 = 0V$ ไปจนถึงประมาณ $V_S = 5V$ เนื่องจากมีการอัดประจุไฟฟ้า (Charging)
• ช่วงที่สอง $v_C(t)$ จะลดลงจาก $V_0 = 5V$ ไปจนถึงประมาณ $V_S = 0V$ เนื่องจากมีการคายประจุไฟฟ้า (Discharging)

หากลองวาดรูปกราฟสำหรับ $v_C(t)$ และใช้ค่าของตัวเก็บประจุที่แตกต่างกัน เช่น $0.1uF, 1uF, 10uF$ โดยใช้ MATLAB ก็มีตัวอย่างโค้ดดังนี้

% (continued)
% substitute parameters with specific values for v_C(t)
params = [R, V_S, V_0];
values = [1000, 5, 0];
v_C(t) = subs( sol, params, values )
% plot v_C(t) with different values of C for t=0..0.02 sec
hold on
ts = [0,0.02];
Cs = [0.1e-6, 1e-6, 10e-6];
for value=Cs
   fplot( subs(v_C(t),C,value), ts, linewidth=1.5 );
end
xlabel('t'), ylabel('v_C(t)'),
ylim([0,5.5]), grid on,
legend( compose('%.1f uF', (Cs.*10^6)) )
hold off

รูป: แสดงเส้นกราฟสำหรับ $v_C(t)$ สำหรับค่าตัวเก็บประจุที่แตกต่างกัน ในช่วงที่มีการชาร์จประจุ

 

คำถาม: หากป้อนสัญญาณ $v_S(t)$ เป็นแบบ PWM (Pulse Width Modulation) ที่มีค่า Duty Cycle=50% หรือ คลื่นสี่เหลี่ยม (Rectangular Wave) ความถี่ของสัญญาณจะส่งผลต่อรูปคลื่นสัญญาณของ $v_C(t)$ อย่างไร ? ลองดูตัวอย่างผลการจำลองการทำงานสำหรับความถึ่ ${1kHz, 2kHz, 10kHz}$ ตามลำดับ

รูป: สัญญาณเอาต์พุต (ความถี่ $1kHz$)

รูป: สัญญาณเอาต์พุต (ความถี่ $2kHz$)

รูป: สัญญาณเอาต์พุต (ความถี่ $10kHz$)

จากรูปคลื่นสัญญาณจะพอสรุปได้ดังนี้

• ระดับแรงดันไฟฟ้า $v_C(t)$ จะลู่เข้าสู่ 2.5V (ครึ่งหนึ่งของ 5V) เนื่องจากสัญญาณ PWM จะมีค่า Duty Cycle เท่ากับ 50%
• สัญญาณ $v_C(t)$ จะไม่เรียบ มีการแกว่งอยู่ระหว่างสองระดับ ($V_{lower}$ และ $V_{upper}$) ผลต่างเรียกว่า Ripple Voltage และช่วงของแรงดันที่แกว่งจะแคบลงถ้าใช้ความถี่สูงขึ้น

การวิเคราะห์แบ่งได้เป็นสองช่วง คือ ช่วงสัญญาณขาขึ้นเมื่อสัญญาณ PWM อยู่ที่ระดับ $V_S > 0V$ และช่วงขาลงเมื่อสัญญาณ PWM อยู่ที่ระดับ $0V$ โดยที่ $0 < \alpha < 1$ $$\begin{align} \text{Rising: } \quad & v_C(\alpha T) = V_S - (V_S - V_{lower})\, e^{−\alpha T/RC} = V_{upper} \\ \text{Falling: }\quad & v_C((1-\alpha) T) = 0 - (0 - V_{upper})\, e^{−(1-\alpha) T/RC} = V_{lower} \\ \end{align}$$ หากหาผลเฉลยของระบบสมการนี้จะได้

$$\begin{align} V_{upper} &= \Big(\frac{ 1 - e^{-\alpha T/\tau}}{ 1 - e^{-T/\tau} }\Big) V_S, \; \tau := RC \\ V_{lower} &= e^{-(1-\alpha)T/\tau } \Big(\frac{ 1 - e^{-\alpha T/\tau} }{ 1 - e^{-T/\tau}} \Big) V_S = e^{-(1-\alpha)T/\tau } \cdot V_{upper} \\ \end{align}$$

ถ้าใช้ความถี่ $1kHz$ ซึ่งมีคาบ $T = 10^{-3} s$, $\alpha = 0.5$ สำหรับค่า Duty Cycle = 50% และ $V_S = 5 V$, $R = 10^{3} \Omega$, $C = 10^{-1} uF$, $\tau = 10^{-3} s$ จะได้ระดับแรงดันอยู่ในช่วงต่อไปนี้ $$\begin{align} V_{upper} &= 3.112 V \\ V_{lower} &= 1.888 V \\ \frac{V_{upper} + V_{lower}}{2} &= 2.500V \\ \end{align}$$

ตัวอย่างการใช้งานวงจร RC ในลักษณะนี้กับสัญญาณ PWM ได้แก่ การสร้างสัญญาณเอาต์พุต PWM ด้วยบอร์ด Arduino โดยใช้คำสั่ง analogWrite() ดังนั้นการปรับค่าความกว้างของพัลส์ หรือ Duty Cycle จะส่งผลต่อระดับของสัญญาณเอาต์พุตที่ผ่านวงจร RC และใช้แทนสัญญาณเอาต์พุตแบบแอนะล็อก ในกรณีที่ชิปไมโครคอนโทรลเลอร์ไม่มีวงจร DAC (Digital-Analog Converter) อยู่ภายใน

 

---

▷ การวิเคราะห์วงจร RL ในโหมด Transient#

การวิเคราะห์วงจร RL ก็วิธีการคล้ายกับวงจร RC ซึ่งจะนำไปสู่สมการเชิงอนุพันธ์อันดับหนึ่งเช่นกัน

$$\begin{align} v_L(t) &= L \frac{d}{dt} i_L(t) \\ v_R(t) &= R\, i_R(t) \\ i(t) &= i_R(t) = i_L(t) \\ \end{align} \\ v_R(t) + v_L(t) - v_S(t) = 0 \\ R\,i_R(t) + L\frac{d}{dt} i_L(t) = v_S(t) \\ $$

รูป: การวาดวงจร RL โดยใช้ซอฟต์แวร์ EasyEDA (มีการต่อแอมมิเตอร์เพื่อวัดกระแสในวงจร)

ดังนั้นจะได้สมการเชิงอนุพันธ์ (อันดับหนึ่ง) และเงื่อนไขเริ่มต้นดังนี้

$$\begin{align} \text{First-order ODE: } &\quad i'_L(t) + \frac{R}{L} i_L(t) = \frac{1}{L}v_S(t) \\ \text{Initial Condition: } &\quad i_L(0) = I_0 \\ \end{align} \\ $$

ในกรณีที่สัญญาณ $v_S(t)$ เป็นแบบขั้นบันได จะได้ผลเฉลยดังนี้ $$i_L(t) = \frac{V_S}{R} - (\frac{V_S}{R} - I_0)\,e^{-\frac{R}{L}t} \\ v_L(t) = L \frac{d}{dt} i_L(t) = (V_S - I_0 R)\,e^{-\frac{R}{L}t} \\ v_R(t) = R\, i_L(t) = V_S - (V_S - I_0 R)\,e^{-\frac{R}{L}t}\\ $$

หากป้อนสัญญาณ $v_S(t)$ เป็นแบบขั้นบันได เช่น เปลี่ยนจาก 0V เป็น 5V ที่เวลา $t=0$ และ 0V เมื่อเวลา $t=5ms$ ตามลำดับ จะได้รูปคลื่นสัญญาณสำหรับแรงดันไฟฟ้าตกคร่อมดังนี้ (ตั้งค่า $R=100 \Omega, L=100 mH$)

รูป: ผลการจำลองการทำงานสำหรับวงจร RL เมื่ออินพุตเป็นสัญญาณแบบขั้นบันได

ในการพิจารณารูปกราฟ ให้แบ่งเป็นสองช่วง

• ช่วงแรก เมื่อเวลา $t=0$ กระแส $i(t)$ เท่ากับ $I_0=0mA$ แล้วเพิ่มขึ้นจนถึง $5V/100\Omega=50mA$ ซึ่งมีแนวโน้มเหมือน $v_R(t)$ ที่เพิ่มขึ้นจาก 0V ไปสู่ 5V ในขณะที่แรงดันตกคร่อมที่ตัวเหนี่ยวนำ $v_L(t)$ จะกระโดดไปเริ่มต้นที่ 5V แล้วลดลงเข้าใกล้ 0V
• ช่วงที่สอง $v_L(t)$ จะกระโดดไปที่ -5V แล้วเพิ่มขึ้นจนเข้าใกล้ 0V ในขณะที่ $v_R(t)$ ลดลง 5V ไปสู่ 0V เช่นเดียวกับกระแส $i(t)$ ที่มีแนวโน้มลดลงจาก$I_0=50mA$ ไปสู่ $0mA$

ตัวอย่างโค้ด MATLAB สำหรับการคำนวณหากระแสและแรงดันตกคร่อมในวงจร RL

% clear all symbols, variables, figures and command outputs
clearvars; clc; clf;
% create symbols
syms t R L V_S I_0 i_L(t) v_L(t) v_R(t)
% write the ODE 
eqn = diff(i_L(t),t) + (R/L)*i_L(t) == V_S/L;
% set the initial condition (IC)
ic = i_L(0) == I_0;
% solve the ODE to find i_L(t)
sol = dsolve( eqn, ic );
i_L(t) = sol
v_L(t) = L*diff(i_L(t),t)
v_R(t) = R*i_L(t)

 

---

▷ การวิเคราะห์วงจร RC ในโหมด AC#

สัญญาณอินพุตที่เป็นรูปคลื่นไซน์ ตามรูปแบบต่อไปนี้ $$v_S(t) = V_S\, sin(\omega t), \; \omega = 2\pi f = \frac{2\pi}{T}$$ หรือเขียนให้อยู่ในรูปแบบของเฟสเซอร์ Phasor $$\mathbf{V}_S = |\mathbf{V}_S| \angle 0^{\circ}$$

หากป้อนสัญญาณรูปคลื่นไซน์สำหรับ $v_S(t)$ ที่มีความถี่คงที่เท่ากับ $\omega$ และเงื่อนไขเริ่มต้นเป็นศูนย์ ซึ่งหมายถึง ตัวเก็บประจุไม่สะสมพลังงานเอาไว้ และสนใจเฉพาะผลตอบสนองบังคับเมื่อเข้าสู่สภาวะคงตัว มีวิธีการวิเคราะห์ดังนี้

$$\begin{align} \mathbf{I} &= \frac{\mathbf{V}_S}{R + X_C} \\ \mathbf{V}_R &= \frac{R}{R + X_C} \mathbf{V}_S = \frac{R}{R + 1/(j\omega C)} \mathbf{V}_S = \frac{j\omega RC}{1 + j\omega RC} \mathbf{V}_S \\ \mathbf{V}_C &= \frac{X_C}{R + X_C} \mathbf{V}_S = \frac{1/(j\omega C)}{R + 1/(j\omega C)} \mathbf{V}_S = \frac{1}{1 + j\omega R C} \mathbf{V}_S \\ \end{align}$$

ข้อสังเกต:

• รีแอคแตนซ์ของตัวเก็บประจุ (Capacitive Reactance): $X_C = \frac{1}{j\omega C} = \frac{1}{j 2\pi f C}$
• รีแอคแตนซ์ของตัวเหนี่ยวนำ (Inductive Reactance): $X_L = j\omega L = j 2\pi f L$
• สัญลักษณ์ $j$ หมายถึง $\sqrt{-1}$ ในระบบเลขจำนวนเชิงซ้อน

หากพิจารณา แรงดันตกคร่อมที่ตัวเก็บประจุ ให้เป็นสัญญาณเอาต์พุตของวงจร ความสัมพันธ์ระหว่างเอาต์พุตต่ออินพุต เขียนได้ดังนี้

$$\begin{align} \mathbf{H}(j\omega) &:= \frac{\mathbf{V}_C}{\mathbf{V}_S} = \frac{1}{1 + j\omega R C} \\ |\mathbf{H}(j\omega)| &= \frac{1}{\sqrt{1 + (\omega R C)^2}} \\ \angle \mathbf{H}(j\omega) &= -tan^{-1}(\omega RC) \quad (radian)\\ \end{align}$$

ดังนั้น $\mathbf{H}(j\omega)$ ใช้ในการวิเคราะห์ผลต่อสนองเชิงความถี่ของวงจรได้ และสามารถกล่าวได้ว่า ความถี่ $\omega$ และค่า $RC$ จะส่งผลต่อแอมพลิจูดและความต่างเฟสของสัญญาณเอาต์พุต เมื่อเปรียบเทียบกับสัญญาณอินพุต

ศึกษาเพิ่มเติมได้จากบทความที่เกี่ยวข้อง: "การวิเคราะห์และจำลองการทำงานของวงจรไฟฟ้ากระแสสลับ (AC Circuit Analysis)"

 

---

▷ กล่าวสรุป#

บทความนี้ได้นำเสนอการวิเคราะห์วงจรกรองความถี่แบบพาสซีฟ เช่น วงจร Low-Pass RC Filter และมีตัวอย่างการจำลองการทำงานด้วยซอฟต์แวร์ EasyEDA

 

---

This work is licensed under a Creative Commons Attribution-ShareAlike 4.0 International License.

Created: 2022-04-10 | Last Updated: 2023-09-20