การวิเคราะห์และจำลองการทำงานของวงจรไฟฟ้ากระแสสลับ (AC Circuit Analysis)#

บทความนี้กล่าวถึง การวิเคราะห์วงจรไฟฟ้าพื้นฐานโดยมีสัญญาณอินพุตเป็นรูปคลื่นไซน์ และดูผลตอบสนองในสภาวะคงตัวของสัญญาณเอาต์พุต โดยใช้ซอฟต์แวร์จำลองการทำงาน และการทดลองต่อวงจรจริง

Keywords: Circuit Simulation, AC Circuit Analysis, EasyEDA

---

▷ วงจร RC#

วงจรไฟฟ้าพื้นฐานในตัวอย่างแรก เป็นวงจรที่ประกอบด้วยตัวต้านทาน (R) และตัวเก็บประจุไฟฟ้า (C) อย่างละหนึ่งตัว ซึ่งได้นำมาต่ออนุกรมกัน วงจรนี้มีอินพุตเป็นสัญญาณรูปคลื่นไซน์ (Sinusoidal Wave) และสัญญาณเอาต์พุตได้จากการวัดแรงดันไฟฟ้าตกคร่อมที่ตัวเก็บประจุ

รูป: วงจร RC สำหรับการทดลองวัดสัญญาณ (วาดผังวงจรด้วยซอฟต์แวร์ EasyEDA)

ถ้านำไปต่อวงจรทดลองบนเบรดบอร์ด ก็สามารถใช้เครื่องกำเนิดสัญญาณไฟฟ้า (Function Generator: FG) และใช้ออสซิลโลสโคป (Oscilloscope: OSC) จำนวน 2 ช่อง เพื่อวัดสัญญาณอินพุตและเอาต์พุตตามลำดับ

ในการทดลองเกี่ยวกับวงจรไฟฟ้ากระแสสลับ จะดูผลตอบสนองในสภาวะคงตัวของวงจร เมื่อมีการเปลี่ยนความถี่ในช่วงที่กำหนด (เรียกว่า AC Analysis หรือ Frequency-based Analysis) โดยวัดสัญญาณที่เป็นแรงดันไฟฟ้าตกคร่อมที่ตัวเก็บประจุซึ่งได้ถูกกำหนดให้เป็นสัญญาณเอาต์พุตในตัวอย่างนี้

ในวงจรตัวอย่าง มีค่า R=1kΩ และ C=0.1uF และกำหนดให้สัญญาณอินพุตรูปคลื่นไซน์ มีค่า Vrms = 2V หรือมีแอมพลิจูด Vp เท่ากับ Vrms/0.7071 = 2.8284V การจำลองหรือวิเคราะห์วงจรไฟฟ้าด้วย EasyEDA ในโหมด Transient (ตั้งค่า .tran 0 3m 1m 1u) ได้ผลดังนี้

รูป: คลื่นสัญญาณอินพุต (Vin) และ (Vout) เมื่อใช้ความถี่ 1kHz

รูป: คลื่นสัญญาณอินพุต (Vin) และ (Vout) เมื่อใช้ความถี่ 2kHz

รูป: คลื่นสัญญาณอินพุต (Vin) และ (Vout) เมื่อใช้ความถี่ 5kHz

การเปลี่ยนแปลงความถี่จะส่งผลต่อแอมพลิจูดและความต่างเฟสของสัญญาณเอาต์พุต และจากผลการจำลองการทำงานของวงจร จะเห็นได้ว่า ถ้าความถี่เพิ่มขึ้น จะทำให้แอมพลิจูดของเอาต์พุตลดลง และทำให้ความต่างเฟสระหว่างอินพุตกับเอาต์พุตเพิ่มมากขึ้น

 

แต่ถ้าจะทดลองเพื่อดูความสัมพันธ์ระหว่างความถี่กับแอมพลิจูดและเฟสของสัญญาณเอาต์พุต ให้เปลี่ยนมาใช้ผังวงจรใหม่ และจำลองการทำงานในโหมด AC Analysis ที่มีการตั้งค่าตามรูปตัวอย่างดังนี้ (ตั้งค่า AC Amplitude = 1V และ AC Phase = 0)

รูป: วงจร RC สำหรับการวิเคราะห์ในโหมด Transient และ AC Analysis ด้วยซอฟต์แวร์ EasyEDA

รูป: กราฟแสดงความสัมพันธ์ระหว่างความถี่กับแอมพลิจูด (หน่วยเป็น dB) และเฟส (หน่วยเป็นองศา) ของสัญญาณเอาต์พุต

จากผลการจำลองการทำงานจะเห็นได้ว่า ในช่วงความถี่ต่ำ แอมพลิจูดได้ประมาณ 0dB หรือ 1V และมีความต่างเฟสใกล้เคียง 0 องศา (ในรูปกราฟแสดงเป็นค่า 360 องศา) แต่เมื่อความถี่เพิ่มขึ้น จะทำให้แอมพลิจูด เริ่มลดลงต่ำกว่า 0dB และความต่างเฟสจะมีการเปลี่ยนแปลงเช่นกัน ในรูปกราฟ มุมเฟสของสัญญาณเอาต์พุตเริ่มลดลง แสดงว่า สัญญาณเอาต์พุตตามสัญญาณอินพุตและมีความต่างเฟสเพิ่มขึ้น เมื่อความถี่เพิ่มขึ้น

รูป: แสดงตำแหน่งด้วยเคอร์เซอร์เพื่อหาความถี่ที่ทำให้แอมพลิจูดมีค่าใกล้เคียง -3dB

รูป: แสดงตำแหน่งด้วยเคอร์เซอร์เพื่อหาความถี่ที่ทำให้มุมเฟสมีค่าใกล้เคียง 315 องศา (หรือ -45 องศา)

วงจร RC ในลักษณะนี้ ทำหน้าที่เป็นตัวกรองความถี่ต่ำแบบพาสซีฟ (Low-pass RC Filter) กล่าวคือ สัญญาณที่มีความถี่ต่ำจะผ่านตัวกรองได้ดีกว่าสัญญาณที่มีความถี่สูง

ความถี่ที่ทำให้สัญญาณเอาต์พุตมีแอมพลิจูดลดลงเหลือ 70.7% เมื่อเทียบกับแอมพลิจูดของสัญญาณอินพุต เรียกว่า -3dB Cut-Off Frequency

ในการวิเคราะห์วงจร "อิมพีแดนซ์" ของวงจร (Impedance: $\mathbf{Z}$ หรือ ความต้านทานเชิงซ้อน ซึ่งมีหน่วยเป็นโอห์ม) คำนวณได้จากผลรวมของความต้านทาน (Resistance: $\mathbf{R}$) กับ "รีแอคแตนซ์" ของตัวเก็บประจุ (Capacitive Reactance: $\mathbf{X_C}$)

$$Z = R + X_C, \; X_C = \frac{1}{j\omega C}, \; \omega = 2\pi f, j := \sqrt{-1}$$

ดังนั้นถ้าคำนวณอัตราส่วนระหว่างสัญญาณเอาต์พุตต่อสัญญาณอินพุต (จำนวนเชิงซ้อน) โดยวิธีเหมือนกรณีของวงจรแบ่งแรงดันไฟฟ้า จะได้ดังนี้

$$\begin{align} \mathbf{H}(j\omega) := \frac{\mathbf{V}_{out}}{\mathbf{V}_{in}} &= \frac{ X_C }{ Z } = \frac{ \frac{1}{j \omega C} }{R + \frac{1}{j \omega C}} \\ &= \frac{1}{ 1 + j \omega RC} = \frac{ 1 - j \omega RC}{ 1 + (\omega RC)^2} \\ \end{align}$$

ถ้าพิจารณาขนาด (Magnitude) และมุม (Phase) ตามลำดับ ก็จะได้สูตรสมการดังนี้ $$\begin{align} |\mathbf{H}(j\omega)| &= \frac{1}{\sqrt{1 + (\omega R C)^2}}\\ \angle\,\mathbf{H}(j\omega) \; &= -tan^{-1}(\omega RC) \\ \end{align}$$

ความถี่ $\omega_c$ ที่ทำให้เงื่อนไขต่อไปนี้เป็นจริง เรียกว่า -3dB Cut-Off Frequency

$$\begin{align} |\mathbf{H}(j\omega_c)|^2 &= \frac{|\mathbf{V}_{out}|^2}{|\mathbf{V}_{in}|^2}\Big|_{\omega=\omega_c} = \frac{1}{2} \\ |\mathbf{H}(j\omega_c)| &= \frac{1}{\sqrt{2}} \approx 0.7071 \\ \end{align}$$

ดังนั้นจึงสามารถคำนวณหาความถี่ $\omega_c$ สำหรับวงจร Low-pass RC Filter ได้ดังนี้

$$\begin{align} \frac{1}{\sqrt{1 + (\omega_c R C)^2}} &= \frac{1}{\sqrt{2}} \\ \omega_c RC &= 1 \quad \Rightarrow \quad f_c = \frac{1}{2\pi RC} \end{align}$$ สำหรับความถี่ $\omega = \omega_c$ จะได้มุมเท่ากับ $$\angle\,\mathbf{H}(j\omega_c) = -tan^{-1}(1) = -\frac{\pi}{4} \\ $$

ถ้าลองแทนค่าตัวเลข $R=1k\Omega, C = 0.1\,uF$ จะได้ความถี่ $f_c$ ดังนี้ $$f_c = \frac{1}{2\pi (1e3)(0.1\cdot 10^{-6})} \approx 1591.55\, Hz$$

 

ถ้าจะลองเขียนโค้ด Python เพื่อแสดงรูปกราฟ (Bode Plot) สำหรับวงจร RC ก็มีตัวอย่างดังนี้

import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np

R = 1000
C = 0.1e-6

# Generate frequency values from 10^2 Hz to 10^4 Hz
f = np.logspace(2, 4, num=100)
w = 2 * np.pi * f

# Calculate the magnitude response
H = 1 / np.sqrt(1 + (R * C * w)**2)

# Calculate the phase response
phi = -np.arctan(R * C * w)

# Plot the magnitude and phase responses
fig, ax = plt.subplots(2, 1, sharex=True, figsize=(10, 5))

# Plot the magnitude response (dB)
ax[0].semilogx(f, 20 * np.log10(H))
ax[0].set_ylabel('Magnitude (dB)')
ax[0].grid(True)

# Plot the phase response (degrees)
ax[1].semilogx(f, np.degrees(phi))
ax[1].set_xlabel('Frequency (Hz)')
ax[1].set_ylabel('Phase (degrees)')
ax[1].grid(True)

plt.savefig("c:\\work\\rc_plot.png")
plt.show()

รูป: Bode Plot สำหรับวงจร Low-pass RC Filter

 

---

▷ วงจร RL#

วงจรไฟฟ้าถัดไปเป็นวงจรที่ประกอบด้วยตัวต้านทาน (R) และตัวเหนี่ยวนำ (L) อย่างละหนึ่งตัว ซึ่งได้นำมาต่ออนุกรมกัน วงจรนี้มีอินพุตเป็นสัญญาณรูปคลื่นไซน์ และสัญญาณเอาต์พุตได้จากการวัดแรงดันไฟฟ้าตกคร่อมที่ตัวเหนี่ยวนำ

รูป: ผังวงจร RL สำหรับการต่อวงจรทดลองและวัดสัญญาณ

เมื่อจำลองการทำงานในโหมด Transient ด้วย EasyEDA และเลือกใช้ความถี่ 20kHz, 50kHz และ 100kHz ตามลำดับ จะได้ผลดังนี้

รูป: คลื่นสัญญาณอินพุตและเอาต์พุต เมื่อใช้ความถี่ 20kHz

รูป: คลื่นสัญญาณอินพุตและเอาต์พุต เมื่อใช้ความถี่ 50kHz

รูป: คลื่นสัญญาณอินพุตและเอาต์พุต เมื่อใช้ความถี่ 100kHz

จากผลการทดลองจะเห็นได้ว่า เมื่อความถี่เพิ่มขึ้น แอมพลิจูดของเอาต์พุตจะสูงขึ้น และความต่างเฟสจะลดลง

ถ้าลองจำลองการทำงานของวงจรในโหมด AC Analysis โดยกำหนดให้ AC Amplitude = 1V และ AC Phase = 0 จะได้ผลดังนี้

รูป: ผังวงจร RL สำหรับการจำลองการทำงานในโหมด AC Analysis

รูป: กราฟแสดงความสัมพันธ์ระหว่างความถี่กับขนาดแอมพลิจูดและมุมของสัญญาณเอาต์พุต

จากรูปกราฟ จะเห็นได้ว่า ในช่วงความถี่ต่ำ แอมพลิจูดของสัญญาณเอาต์พุตจะน้อยกว่าในช่วงความถี่สูง และมุมเฟสในช่วงความถี่ต่ำจะได้ 90 องศา และเพิ่มลดลง เมื่อความถี่เพิ่มขึ้น

ในการวิเคราะห์วงจร "อิมพีแดนซ์" ของวงจรนี้ ($\mathbf{Z}$) คำนวณได้จากผลรวมของความต้านทาน (Resistance: $\mathbf{R}$) กับ "รีแอคแตนซ์" ของตัวเหนี่ยวนำ (Inductive Reactance: $\mathbf{X_L}$)

$$Z = R + X_L, \; X_L= j\omega L, \; \omega = 2\pi f, j := \sqrt{-1}$$

ถ้าคำนวณอัตราส่วนระหว่างสัญญาณเอาต์พุตต่อสัญญาณอินพุต (จำนวนเชิงซ้อน) โดยวิธีเหมือนกรณีของวงจรแบ่งแรงดันไฟฟ้า จะได้ดังนี้

$$\begin{align} \mathbf{H}(j\omega) := \frac{\mathbf{V}_{out}}{\mathbf{V}_{in}} &= \frac{ X_L }{ Z } \\ &= \frac{ j \omega L }{R + j \omega L } = \frac{ 1 }{ 1 + \frac{R}{j \omega L} } \\ &= \frac{ 1 }{ 1 - j\frac{R}{ \omega L} } = \frac{ 1 + j\frac{R}{ \omega L} }{ 1 + (\frac{R}{ \omega L})^2 } \end{align}$$

ถ้าพิจารณาขนาด (Magnitude) และมุม (Phase) ตามลำดับ ก็จะได้สูตรสมการดังนี้ $$\begin{align} |\mathbf{H}(j\omega)| &= \frac{1}{ \sqrt{1 + (\frac{R}{\omega L})^2} } \\ \angle\,\mathbf{H}(j\omega) \; &= tan^{-1}(\frac{R}{\omega L}) \\ \end{align}$$

ความถี่ $\omega_c$ ที่ทำให้อัตราส่วนระหว่างแอมพลิจูดของสัญญาณเอาต์พุตต่อสัญญาณอินพุต ได้เท่ากับ $1/\sqrt{2}$ หรือ ประมาณ 0.7071 คำนวณหาได้ดังนี้

$$\begin{align} |\mathbf{H}(j\omega_c)| &= \frac{1}{ \sqrt{1 + (\frac{R}{\omega_c L})^2} } = \frac{1}{\sqrt{2}}\\ \Rightarrow \quad \frac{R}{\omega_c L} &= 1 \\ f_c &= \frac{1}{2\pi} \Big(\frac{R}{L}\Big) \\ \end{align}$$

ลองคำนวณจากค่าตัวเลข เช่น $R=100\Omega, \; L=470\,uH$ จะได้ความถี่ $$f_c = \frac{1}{2\pi} \Big( \frac{100}{470\cdot 10^{-6}} \Big) = 33,862.75\,Hz$$ และจะได้มุม $$\angle\,\mathbf{H}(j\omega_c) = tan^{-1}(\frac{R}{\omega_c L}) = +\frac{\pi}{4} \\ $$

 

---

▷ วงจร RLC#

วงจรถัดไปเป็นวงจรที่ประกอบด้วยตัวต้านทาน (R) ตัวเหนี่ยวนำ (L) และตัวเก็บประจุ (C) นำมาต่ออนุกรมกัน มีสัญญาณอินพุตเป็นรูปคลื่นไซน์ และวัดแรงดันตกคร่อมที่ตัวต้านทานเพื่อใช้เป็นสัญญาณเอาต์พุต

รูป: ผังวงจร RLC สำหรับการต่อวงจรทดลองและวัดสัญญาณ

รูป: ผังวงจร RLC สำหรับการจำลองการทำงานในโหมด Transient และ AC Analysis

ในการวิเคราะห์วงจร "อิมพีแดนซ์" ของวงจร คำนวณได้จากผลรวมของความต้านทาน และ "รีแอคแตนซ์" ของตัวเก็บประจุและตัวเหนี่ยวนำ

$$\begin{align} Z &= R + X_L + X_C, \; X_L = j\omega L,\; X_C = \frac{1}{j\omega C}\\ \end{align}$$

ความถี่ $f = f_r$ หรือ $\omega = \omega_r$ ที่ทำให้มีค่าอิมพีแดนซ์ของวงจรต่ำสุด เรียกว่า "ความถี่เรโซแนนซ์" (Resonance Frequency)

ดังนั้นจึงเขียนสมการเงื่อนไขได้ดังนี้ $$\begin{align} X_L + X_C &= 0 \;\; \Rightarrow \; Z = R \\ j\omega_r L + \frac{1}{j\omega_r C} &= 0 \\ \Rightarrow \;\; f_r &= \frac{1}{2\pi \sqrt{LC}} \\ \end{align}$$

ถ้าลองคำนวณจากค่าตัวเลข เช่น $R=1k\Omega, C=0.1\,uF, L=820\,mH$ จะได้ความถี่เรโซแนนซ์

$$\begin{align} f_r &= \frac{1}{2\pi \sqrt{LC} } \\ &= \frac{1}{2\pi \sqrt{(820\cdot 10^{-6})(0.1\cdot 10^{-6})} } \approx 17,575.72\, Hz \end{align}$$

ลองดูผลการวิเคราะห์วงจรด้วยซอฟต์แวร์ EasyEDA ในโหมด AC Analysis ดังนี้

รูป: ผลการวิเคราะห์วงจรในโหมด AC Analysis (ค่า $R=1k\Omega$) สำหรับช่วงความถี่ 100Hz ถึง 1MHz

จากกราฟจะเห็นได้ว่า ในช่วงความถี่ต่ำกว่าความถี่เรโซแนนซ์ แอมพลิจูดของสัญญาณเอาต์พุตจะมีค่าน้อยมาก และมีมุมเฟสเป็นบวก แต่เมื่อเพิ่มความถี่ไปจนถึงความถี่เรโซแนนซ์ จะได้แอมพลิจูดสูงสุดและมุมเฟสเข้าใกล้ศูนย์ จากนั้นจะแอมพลิจูดจะเริ่มลดลงเมื่อความถี่สูงกว่าความถี่เรโซแนนซ์ และมีมุมเฟสเป็นลบ

ถ้าลองลดค่าความต้านทาน จาก $R=1k\Omega$ ให้เป็น $R=10\Omega$ (ไม่ส่งผลต่อการเปลี่ยนความถี่เรโซแนนซ์) จะได้ผลลัพธ์ดังนี้ ซึ่งจะสามารถสังเกตเห็นจุดสูงสุดและการเปลี่ยนมุมเฟสจากบวกเป็นลบได้อย่างชัดเจน เมื่อความถี่อยู่ในช่วงใกล้เคียงกับความถี่เรโซแนนซ์

รูป: ผลการวิเคราะห์วงจรในโหมด AC Analysis (เปลี่ยนค่าให้ $R=10\Omega$)

ตัวอย่างโค้ด Python โดยใช้แพคเกจ SymPy, NumPy และ matplotlib เพื่อแสดงรูปกราฟ Bode Plot สำหรับวงจร RLC มีดังนี้

import sympy as sym
import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np

sym.init_printing()

s, f = sym.symbols("s f")
R, L, C = sym.symbols("R L C")

H = R / (R + (L * s) + (1 / (s * C)))
H = H.simplify()

# Substitute the values for R, L, and C
H = H.subs([(R, 100), (L, 820e-6), (C, 0.1e-6)])
H = H.subs( {s: 1j*2*sym.pi*f})

H_mag = sym.lambdify(f, abs(H), "numpy")
H_phi = sym.lambdify(f, sym.arg(H), "numpy")
f = np.logspace(2, 6,num=500) # 10^2 .. 10^6 Hz

# Plot the magnitude and phase responses
fig, ax = plt.subplots(2, 1, sharex=True, figsize=(10, 5))

# Plot the magnitude response (dB)
ax[0].semilogx(f, 20 * np.log10(H_mag(f)))
ax[0].set_ylabel('Magnitude (dB)')
ax[0].grid(True)

# Plot the phase response (degrees)
ax[1].semilogx(f, np.degrees(H_phi(f)))
ax[1].set_xlabel('Frequency (Hz)')
ax[1].set_ylabel('Phase (degrees)')
ax[1].grid(True)

plt.savefig("c:\\work\\rlc_resonance.png")
plt.show()

รูป: Bode Plot ($R=1k\Omega$) ที่ได้จากการทำงานของโค้ด Python

รูป: Bode Plot ($R=10\Omega$) ที่ได้จากการทำงานของโค้ด Python

 

---

▷ กล่าวสรุป#

บทความนี้ได้นำเสนอเนื้อหาเกี่ยวกับการวิเคราะห์วงจรพื้นฐานสำหรับกระแสสลับ โดยใช้ซอฟต์แวร์ EasyEDA จำลองการทำงานในโหมด Transient Analysis และ AC Analysis

 

---

This work is licensed under a Creative Commons Attribution-ShareAlike 4.0 International License.

Created: 2023-02-08 | Last Updated: 2023-02-08